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【統計検定準一級】統計学実践ワークブックの問題をゆるゆると解く#16

統計検定準一級

【概要】

  • 統計検定準一級対応 統計学実践ワークブックの問題を解いていくシリーズ
  • 第16回は8章「統計的推定の基礎」から1問
  • きびしい

【目次】

はじめに

本シリーズでは、いろいろあってリハビリも兼ねて統計学実践ワークブックの問題を解いていきます。 統計検定を受けるかどうかは置いておいて。

今回は8章「統計的推定の基礎」から1問。8章はいきなり厳しくて、参考書を2冊追加してます（会社の経費で買った）。

なお、問題の全文などは著作権の問題があるかと思って掲載してないです。わかりにくくてすまんですが、自分用なので。

心優しい方、間違いに気付いたら優しく教えてください。

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問8.1

問題

正規分布\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)からi.i.dで得た標本X=\{X_1, \cdots, X_n \}について

(1) \sum(X_1 - \mu)^2は統計量か？

「統計量」の定義は、「標本のみの関数」となるため、これは統計量ではない。

(2) 順序統計量を並べたベクトルはパラメータ\mu, \sigma^2の十分統計量か？

「順序統計量」は標本を並べ替えただけのものです。Xはi.i.dなので、並べ替えても尤度は同じになります。そのため、元のXと順序統計量はパラメータの推定に関して情報が失われてはいないため、これは「十分統計量」と言えます。

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(3) 標本分散\frac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})^2は不偏推定量か？

分散の不偏推定量はnで割るのではなく、(n-1)で割る必要があるので、これは不偏推定量ではありません。

不偏分散自体は記憶していたのですが、不偏分散の証明が追えていないので後で確認しておきます。。。

(4) 標本分散の平方根は標準偏差の最尤推定量か？

正規分布の最尤推定量を導出すると、以下のメモの通りとなります。

この結果から、標本分散が分散の最尤推定量ということがわかります。

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(5) 標本分散は分散\sigma^2の一致推定量であるが、漸近有効推定量ではないか？

これはわかりません。後で確認します。漸近論が全く理解できていない。

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参考資料

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